الفهرس 
Preliminary concepts and literature reviewOnly 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 197 |  |  |
| | | from | 197 | | |
Abstract
يعد استخدام الطرق العددية مجالًا مهمًا للبحث في مجال الرياضيات تهدف لحل المعادلات التفاضلية وكذلك المعادلات التكاملية لكل من الأنظمة العادية والانظمة الكسرية. وتهدف الدراسة الحالية، والتي تتكون من سبعة فصول، الي اقتراح تعديل جديد وتحليل لبعض الطرق التحليلية والعددية من أجل حل المعادلات التفاضلية والتكاملية، وفي هذا الصدد تتناول الدراسة تعديلين رئيسيين على النحو التالي.
أولاً، تقترح الدراسة إطار عمل جديد لحل المعادلات التفاضلية التكاملية للنظام العادي. تعتبر من أحد المزايا البارزة لهذا الإطار في التعامل مع مجموعة كبيرة ومتنوعة من المعادلات التفاضلية والتكاملية المعروفة، و تحقق ذلك بإدخال تعديلات جديدة على بعض الأساليب العددية والتحليلية المعروفة. وبشكل عام يبرهن الإطار الناتج أن بناء تلك الطرق بعد التعديل أعطى نتائج أفضل ودقة أعلى.
ثانيًا، معالجة بعض الطرق العددية نتج عنها طرق اخرى يمكنها بالفعل حل المعادلات التفاضلية الكسرية. وقد أعطى هذا النهج أهمية كبيرة للطرق المعدلة من خلال توسيع نطاق تأثيرها في التحليل العددي، كما تم تطوير إطار تحليلي موحد لتأسيس خصائص التقارب لفئة كبيرة من الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الكسرية. و قد تبين أن الطرق العددية المقترحة للمسائل محل الدراسة تتمتع بدرجة كبيرة من الدقة تجعلها متسقة مع الحلول الدقيقة. ونظرًا للتأثير الكبير لهذه التعديلات، فقد اقتربت بعض هذه الطرق من الحل الدقيق نفسه.
فيما يلي عرضا موجزا للأفكار الرئيسية لفصول الرسالة:
يتناول الفصل الأول بعض التعريفات والمفاهيم الأساسية والفرضيات والمصطلحات والنظريات التي سيتم استخدامها في هذه الرسالة.
يستعرض الفصل الثاني الحلول التحليلية لبعض المعادلات التفاضلية اللاخطية. وتجدر الاشارة هنا الي ان الحل التحليلي للمعادلات التفاضلية غير الخطية صعب للغاية، ولذلك تم إجراء تعديل على طريقة homotopy الاضطرابية للحصول على الحلول التحليلية للمعادلات التفاضلية العادية ذات القيمة الأولية والمعادلات التفاضلية الجزئية. وتضطلع الدراسة الحالية بحل بعض المسائل باستخدام طريقة معدلة حديثًا تتفوق في الأداء على جميع الطرق الأخرى المعروفة، مع نتائج تقريبية في شكل متسلسلة القوى. كما يستعرض الفصل وصف وتوضيح هذه الطريقة باستخدام بعض المسائل المعروفة، وقد أوضحت النتائج التي تم الحصول عليها مدى كفاءة الطريقة. علاوة على ذلك، تشير هذه النتائج إلى أن هذه الطريقة الجديدة أسهل في التنفيذ.
في هذا الفصل أيضًا، تم الحصول على حل دقيق لمعادلات فولتيرا التكاملية الخطية وغير الخطية (VIE) Volterra التكاملية التفاضلية (VIDE). توجد هذه المعادلات في العديد من التطبيقات، وعلى عكس الطريقة الكلاسيكية تظهر الطريقة الجديدة توافقا في حل معادلات Volterra التكاملية الخطية وغير الخطية (VIE) وVolterra التكاملية التفاضلية (VIDE). وفي جميع الحالات التي تمت دراستها، تتقارب هذا الطريقة إلى شكل مغلق ينتج عنه حل دقيق لبعض الحالات. وقد أسهمت هذه الطريقة بنجاح في تطوير طريقة عددية يتسنى لها المعادلات السابق ذكرها. أخيرًا، يقدم الفصل العديد من الأمثلة للتحقق من قابلية تطبيق التقنية المقترحة.
يستعرض الفصل الثالث طريقة homotopy الاضطرابية المعدلة، ويوضح كيف يسمح هذا التعديل بالوصول الي حل دقيق للمسائل ذات القيمة الأولية للمعادلة التفاضلية الكسرية. وقد أثبتت هذه الطريقة فعاليتها و كفاءتها في تحليل بعض فئات المعادلات التفاضلية الكسرية لمشاكل التوصيل الحراري والأنظمة الديناميكية الأخرى. كما يعرض الفصل بعض الأمثلة الموضحة لشرح الطريقة الجديدة.
يقدم الفصل الرابع طريقة تكرارية جديدة من خطوة واحدة للحصول على حل دقيق لمعادلة Bagley-Trovik التفاضلية الكسرية، و تعتبر الطريقة المقترحة تعديلا لطريقة تكرارية معروفة تسمى الطريقة التكرارية الجديدة . وقد مكننا هذا التعديل من الحصول على الحل الدقيق للمعادلات التفاضلية الكسرية الخطية وغير الخطية. وتجدر الاشارة الي ان معادلة Bagley-Trovik التفاضلية الكسرية تظهر بشكل طبيعي في وصف حركة لوح صلب مغمور في مائع نيوتوني. كما يناقش الفصل تحليل التقارب لهذه الطريقة، ويطرح العديد من الأمثلة يقارنها مع الحلول التي تم الحصول عليها بالطرق الأخرى المعروفة، موضحا الدقة والتقارب السريع للطريقة المقترحة.
يعني الفصل الخامس بشكل اساسي بالطريقة العددية القائمة على Improved block pulse functions لحل معادلات Volterra وFredholm التكاملية الخطية وغير الخطية من النوع الثاني والتي يمكن تبسيطها في نظام خطي من المعادلات الجبرية باستخدام IBPFs ومصفوفة تكاملها التشغيلية. بعد ذلك، يمكن برمجة النظام وحله باستخدام برنامج Mathematica. ويتضح من الأمثلة العددية أن التغييرات التي تم إجراؤها على الطريقة قد حسنت الوقت الذي يستغرقه البرنامج في حل نظام المعادلات الجبرية، كما انعكس ذلك في دقة الحل. وقد تبين ان هذا التعديل يعمل بشكل مثالي ويحسن من regular block pulse functions (BPF)، حيث ان إجراء تغيير طفيف في فترات BPF يغير التقنية بأكملها إلى تقنية جديدة أسهل وأكثر دقة. وقد نجح هذا التغيير بشكل جيد في حل أنواع مختلفة من المعادلات المتكاملة. علاوة على ذاك، استعرض الفصل وأثبت النظريات المصاحبة لتقنية IBPF وكذلك نسب تقدير الخطأ. تناول العمل أيضًا نظريات التفرد والتقارب للحل، وطرح أمثلة عددية لإظهار كفاءة ودقة الطريقة المقترحة كما يتضح في الجداول والرسوم البيانية.
يتناول الفصل السادس طريقة عددية تعتمد على Improved block pulse functions (IBPFs)وذلك لاستخدامها بشكل اساسي في حل معادلات Volterra-Fredholm التكاملية من النوع الثاني. غالبًا ما يتم تبسيط هذه المعادلات في نظام خطي من المعادلات الجبرية من خلال استخدام IBPFs بالإضافة إلى مصفوفة تكاملها التشغيلية. وقد عززت التعديلات الكلاسيكية الوقت الذي يستغرقه برنامج الكمبيوتر لحل نظام المعادلات الجبرية. أما التعديل الحالي يعمل بشكل مثالي ليحسن كفاءة block pulse functions (BPF). بالإضافة إلى ذلك، يتناول العمل نظريات التفرد والتقارب للحل، ويستعرض أمثلة عددية لإبراز كفاءة ودقة الطريقة المقترحة كما هو موضح في الجداول والرسوم البيانية التي تؤكد على مدى كفاءتها وفعاليتها.
يقدم الفصل السابع تقنية عددية جديدة لحل نظام من النوع الثاني من معادلات Fredholm التكاملية الخطية. وقد حاول العديد من الباحثين استخدام وظائف Bernstein بالإضافة إلى Improved block pulse functions لحل المعادلات المتكاملة. ومع ذلك، تقدم الدراسة الحالية اقترانًا بين وظائفBernstein الهجينة وتقنية Improved block pulse functions ، حيث تعمل الطريقة الجديدة على تحويل النوع الثاني الخطي من معادلات Fredholm التكاملية إلى بنية جبرية يمكن حلها باستخدام الطرق التقليدية. يعرض الفصل بعض الأمثلة العددية للتحقق من صحة الطريقة الجديدة. وقد أظهرت النتائج مدى دقة و كفاءة الطريقة المقترحة.
ملحوظة:
بعض النتائج التي حصلنا عليها في هذه الرسالة تم نشرها في بعض المجلات العلمية الدولية
[1] M. A. Ramadan, G. M. Moatimid, and M. H. Taha, One-step new iterative method for solving Bagley–Torvik fractional differential equation, Iranian Journal of Science and Technology, Transactions A: Science, 43(5): 2493-2500 (2019).
[2] M. H. Taha, M. A. Ramadan, D. Baleanu, G. M. Moatimid, A Novel Analytical Technique of the Fractional Bagley-Torvik Equations for Motion of a Rigid Plate in Newtonian Fluids, Computer Modeling in Engineering & Sciences, 124(3): 969–983 (2020).
[3] M. A. Ramadan, G. M. Moatimid, and M. H. Taha, A powerful method for obtaining exact solutions of Volterra integral equation’s types, Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 16(2): 325-339 (2020).
[4] J. H. He, M. H. Taha, M. A. Ramadan, and G. M. Moatimid, Improved Block-Pulse Functions for Numerical Solution of Mixed Volterra-Fredholm Integral Equations, Axioms, 10(3): 200 (2021).
[5] M. H. Taha, M. A. Ramadan, G. M. Moatimid, Numerical Solution of Linear and Nonlinear Integral Equations Via Improved Block-Pulse Functions, American Journal of Mathematical and Computer Modelling, 6(2): 19-34 (2021).
[6] G. M. Moatimid, M. A. Ramadan, M. H. Taha, and E. E. Eladdad, A reliable method for obtaining analytical solutions to some ordinary and partial differential equations with initial values. (accepted in American Journal of Mathematical and Computer Modelling, 2022)
[7] J. H. He, M. H. Taha, M. A. Ramadan, and G. M. Moatimid. A combination of Bernstein and improved block-pulse functions for solving a system of linear Fredholm integral equations. (accepted in Mathematical Problems in Engineering, 2022).